Septiembre

Seguimos con el estudio de los Complejos, pero en este caso comenzamos a ver temas relacionados con funciones.

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Diversos problemas de Ingeniería pueden relacionarse con el método de análisis de complejos, en este caso las funciones analíticas complejas nos sirve para resolver problemas relacionados con la dinámica de fluidos y la electrostática

Al entrar al tema de funciones se empezó por definir la TOPOLOGÍA DEL PLANO COMPLEJO.

Si  z   e C,entonces, z = x + iy; si x, y son variables reales, entonces z es una variable compleja.

Se observó diferentes gráficas como son: 

• Círculo de de centro z e C y de radio p mayor que 0.
• Disco Circular Abierto o Bola Abierta.
• Disco Circular Cerrado o Bola Cerrada.
• Disco Circular Perforado o Bola Reducida.
• La Negación.
• La Región.

Las funciones de variable compleja tienen un dominio y un recorrido.

f: D c C ---˃ C

              z ---˃ f (z)

Si z = x + iy, f(z) = f (x,y)= u (x,y) + iv (x,y)

Límite de una función de variable compleja.

Sea f: D c C ---˃ C una función de variable compleja, se dice que f(z) tiene límite cuando z---˃Zo, si cumple que:

lím f(z) cuando z ---˃ Zo es igual  L

Sí para todo Ɛ ˃ 0, existe d ˃ 0 / 0 ˂ ǀz - Zoǀ ˂ d y ǀf(z) - Lǀ˂ Ɛ 

Continuidad de funciones complejas.

Sea f: D c C ---˃ C, se dice que z ---˃ f(z)

f(z) es continua en Zo Ɛ D, si se cumple que:

1. Existe límite de f(Zo).
2. Existe lím de f(z) cuando z tiende a Zo.
3. lím de f(z) cuando tiende z a Zo, es igual a f (Zo).

Propiedades

Sea f y g dos funciones complejas continuas en Zo Ɛ D, entoces: 

• f + g es continua en Zo.
• f - g  es continua en Zo.
• f * g es continua en Zo.
• f / g  es continua en Zo.

Observación 

Discontinua: 

Evitable. Se produce en dos casos cuando: 

• Existe lím de f(z) cuando z tiende a Zo y no existe f (Zo).
• Existe lím de f(z) cuando z tiende a 0 y no es igual a f(Zo).
• Cuando se produce alguno de estos dos casos se debe redefinir la función f(z).

Inevitable: Cuando no existe lím de f(z) cuando z tiende a Zo, no se debe redefinir la función.

Derivación de funciones de variable compleja.

La derivada de una función de variable compleja está esta definida y cumple las mismas propiedades que la derivada de una función real. 

Sea f: D c C---˃ C

               z---˃ f(z)

En este tema intervienen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en la forma normal y en coordenadas polares, lo que mas se utilizó fue en coordenadas polares.

Funciones Analíticas.-  Para verificar que una función de variable compleja es función analítica se debe demostrar las siguientes ecuaciones, las cuales pertenecen a las ecuaciones de Cauchy-Rieman.        

Integración Compleja

En forma general las integrales complejas definen y tienen propiedades similares a la integración de números reales, sin embargo existen algunas integrales complejas que nos permitirán evaluar integrales reales.